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La geometria del piano, per punti di una faccia, è conoscibile matematicamente, quando la sola fonte di dati è la goniometria piana, da una base d'osservatorio di lunghezza costante che sia stata stabilita lungo una retta orientata appartenente a quella faccia. Questo racconto matematico della goniometria piana, per ciascun quadrante, rappresenterà la nostra "percezione visiva" della geometria. Il racconto ha inizio nella premessa, dal nuovo elementare concetto di "media reciprocitaria" inerente ad una variabile reale non nulla. Da questo concetto si deducono le rappresentazioni analitiche delle funzioni iperboliche (tramite la funzione logaritmica) e rappresentazioni parametriche delle funzioni goniometriche (tramite la funzione omografica iperbole). Si enumerano le terne pitagoriche elementari. Si dimostra l'ultimo teorema di Fermat. Il racconto matematico prosegue nelle sezioni di testo. In ciascun quadrante di piano, s'istituiscono i concetti di ampiezza per settori iperbolici ed ellittici. Si definiscono le funzioni ampiezze per archi coordinati iperbolici ed ellittici. La parte aurea dell'unita risponde ad un naturale quesito di analisi differenziale.
